一、VRP 问题：物流优化的核心难题

在电商爆发式增长的今天，如何让快递车以最短路径、最低成本完成配送？这背后正是运筹学中经典的车辆路径问题（Vehicle Routing Problem, VRP）。作为 NP-hard 问题，VRP 的目标是在满足客户需求、车辆容量等约束下，优化车辆路线以最小化总成本。从超市补货到外卖配送，从快递揽收到垃圾回收，VRP 的优化直接影响企业效率与社会资源消耗。

随着场景复杂化，VRP 衍生出多种变体：带时间窗的 VRPTW、带回程的 VRPB、异构车队的 HFVRP 等。例如，在生鲜配送中，不仅要考虑路线最短，还要确保货物在时间窗内送达；而电商仓储则需同时处理 “送货” 与 “揽收” 的双向需求（回程问题）。

二、传统方法：从数学建模到启发式搜索

VRP 研究以数学规划和启发式算法为主，如图 1 所示。精确算法如整数规划、分支定界法等，能求解小规模问题，但面对大规模实例时计算复杂度呈指数级增长[1]。启发式算法如Clarke-Wright 节约算法、遗传算法（GA）、模拟退火（SA）等，通过经验规则快速生成可行解。例如，文献 [2] 提出的混合启发式算法结合迭代局部搜索（ILS）与集合划分（SP）模型，如图 2 所示，在异构车队 VRP 中实现了对 12 种变体的统一求解，覆盖多 depot、时间窗等复杂约束，在 643 个基准实例中刷新了 71.7% 的最优解记录。

图 1 VRP 分类谱系图[3]

图 2 ILS 与 SP 模型的交互机制

三、机器学习赋能 VRP：从数据中 “学” 出最优路径

近年来，深度学习与强化学习为 VRP 带来突破性进展。

1. 监督学习与端到端优化

通过标注数据训练模型直接生成路线。例如，文献[1] 提出的编码器 - 解码器结构，利用图神经网络（GNN）和注意力机制，将 VRP 建模为马尔可夫决策过程（MDP），如图 3 所示，在 CVRP 问题上与传统启发式算法 LKH-3 相比，平均差距缩小至 1.27%，且计算时间缩短90% 以上。

2. 强化学习：动态环境中的决策高手

文献 [4] 针对带回程的 VRPB（VRPB），设计两阶段注意力编码器：先通过自注意力捕捉节点间关系，再用异构注意力区分 “送货” 与 “揽收” 节点，在基准实例中较传统算法提升 20%  性能。该方法允许灵活调整送货与揽收顺序，突破了传统 VRPB中 “先送货后揽收” 的严格约束。

3. 混合方法：融合传统与学习的优势

文献[1] 指出，将深度学习与局部搜索结合（如 2-opt 优化），可在保持解质量的同时提升泛化能力。例如，在 TSP 问题上，混合模型比纯强化学习方法收敛速度提升 3 倍，且在 100  节点实例中达到与 LKH-3 相当的精度。

图 3 机器学习解决 VRP 的框架图

结语

从数学公式到神经网络，VRP 的求解历程见证了优化算法与 AI 技术的融合创新。在物流智能化浪潮中，这些技术不仅是学术界的研究课题，更将成为企业降本增效的核心引擎。未来，随着边缘计算与实时数据的结合，VRP 求解器有望在智慧城市、无人配送等场景中发挥更关键的作用。

参考文献

[1] Bogyrbayeva A, Meraliyev M, Mustakhov T, et al. Machine learning to solve vehicle routing  problems: A survey[J]. IEEE Transactions on Intelligent Transportation Systems, 2024, 25(6):  4754-4772.

[2] Penna, P.H.V., et al. (2019). A hybrid heuristic for a broad class of vehicle routing problems  with heterogeneous fleet. Annals of Operations Research, 273 (1), 5-74.

[3] Zhang, H., et al. (2022). Review of Vehicle Routing Problems: Models, Classification and  Solving Algorithms. Archives of Computational Methods in Engineering, 29 (1), 195-221.

[4] Wang C, Cao Z, Wu Y, et al. Deep reinforcement learning for solving vehicle routing problems with backhauls[J]. IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems,  2024.